La anti intuitiva probabilidad condicionada y la paradoja de los 2 hijos
He aquí un acertijo de probabilidades de simple formulación: una pareja tiene 2 hijos (acá usamos el masculino en forma genérica: pudieran ser de cualquier sexo) y nos presenta a uno de ellos, un varón. Cual es la probabilidad de que el otro hijo también sea varón?
Si su respuesta es 1/2 pienselo de nuevo porque es incorrecto. Pero no se deprima: parece que nuestro cerebro está moldeado para caer sistemáticamente en este error y así lo parece refrendar una encuesta realizada recientemente.
La respuesta correcta es 1/3. Existe la mitad de chances que sea varón que que sea mujer. En otras palabras si su vida dependiera de acertar es altamente recomendable en este caso jugársela a que el según hijo es una mujer.
Veamos por que.
Para empezar vamos asumir que es igualmente probable tener un hijo varón que una hija mujer (en realidad no es exactamente pero está muy próximo). Por lo tanto, la probabilidad de tener un varón (o una mujer) es 1/2 tanto en el primer embarazo como en el segundo (son sucesos independientes). Ahora bien esto nos da 4 combinaciones posibles y cada una de ellas tiene una probabilidad de 1/4.
La pregunta puede reformularse de la siguiente manera: cual es la probabilidad de que una familia de 2 hijos tenga 2 hijos varones sabiendo que tiene un hijo varón?
Esto se resuelve en probabilidad y estadística usando la fórmula de probabilidad. condicional.
Que significa que la probabilidad se que ocurra A (tener 2 hijos varones en este caso) siendo que ocurrió B (tener un hijo varón en este caso) es igual a la probabilidad conjunta (intersección) de A (tener 2 hijos varones) y B (tener un hijo varón) dividido la probabilidad de B (tener 1 hijo varón)
La intersección entre tener un hijo varón y tener dos hijos varones es claramente igual a tener dos hijos varones, esto es de 1/4 como se ve en el diagrama de la izquierda. Mientras que la probabilidad de tener un hijo varón es las union entre las probabilidades de tener 2 hijos varones o uno y uno y esto es 3/4 como se ve en el diagrama de la derecha.
El cociente entre estas 2 probabilidades es 1/3.
Paradoja de los 2 hijos
Este acertijo es parte de la conocida “Paradoja de los 2 hijos” (Gadner, 1959), que es a su vez una variante de la “paradoja de Bertrand”
El enunciado de la paradoja (si bien no fue escrito exactamente de la manera que sigue, es completamente análoga), es:
1. El Sr. Jones tiene dos hijos. Él hijo mayor es varón. ¿Cuál es la probabilidad de que el menor sea varón también?
2. El Sr. Smith tiene dos hijos. Uno de ellos es varón. ¿Cual es la probabilidad que el otro sea varón también.
Aún cuando las preguntas puedan parecer la misma, no lo son. La segunda es exactamente la que acabamos de analizar. La respuesta es 1/3.
La primera pregunta puede reformularse de la siguiente manera: cual es la probabilidad de que una familia de 2 hijos el hijo menor sea varón sabiendo que el hijo mayor es varón?
Nuevamente esto se resuelve usando la fórmula de probabilidad. condicional.
Que significa que la probabilidad de que ocurra A (tener 2 hijos varones en este caso) siendo que ocurrió B (que el hijo mayor es varón en este caso) es igual a la probabilidad conjunta (intersección) de A (tener 2 hijos varones) y B (hijo mayor varón) dividido la probabilidad de B (hijo mayor varón)
La intersección entre hijo mayor varón y tener dos hijos varones es claramente igual a tener dos hijos varones, esto es 1/4 como se ve en el diagrama de la izquierda. Mientras que la probabilidad de que el hijo mayor sea varón es las union entre las probabilidades de que [el mayor sea varón y al menor varón], esto es 1/4 con la probabilidad de que [el mayor sea varón y el menor mujer], esto es 1/4, y esta suma es 1/2, como se ve en el diagrama de la derecha.
El cociente entre estas 2 probabilidades es 1/2.
Fascinante no?