Explicación del dilema de la bella durmiente
Recordemos como era el dilema.
La famosa princesa de cuento de hadas participa en un experimento que comienza el domingo. Se le dice que la dormirán, y mientras duerme se lanzará una moneda que determinará cómo procederá el experimento.
- Si la moneda sale cara, la despertarán el lunes, la entrevistarán y la volverán a dormir con un suero que borrara su memoria, por lo que no recordará este despertar.
- Si la moneda sale de ceca, la despertarán el lunes y la entrevistarán y volverán a hacer lo mismo el martes, ambos días la volverán a dormir con el mismo suero y no recordará ninguno de los despertares.
- En cualquier caso, el experimento termina cuando la despiertan el miércoles sin ser entrevistada.
Cada vez que se es despertada y entrevistada, la Bella Durmiente, no sabrá qué día es o si ha sido despertada antes. Durante cada despertar, se le pregunta a ella: “¿Cuál es su grado de certeza de que la moneda salió cara? ¿Cuál debería ser su respuesta?
Este problema tiene 2 soluciones intuitivamente diferentes que han desatado 2 bandos de discusión, los “tercios ” y los “medios”.
Los “tercios” argumentan que en el universo de posibilidades, hay 3 situaciones posibles en las que la Bella Durmiente podría haber sido despertada, que le son indistinguibles:
- Podría ser lunes y la moneda podría haber salido cara.
- Podría ser lunes y la moneda haber salida ceca.
- Podría ser martes y la moneda haber salido ceca.
Cada uno de estos es igualmente probable desde su perspectiva, por lo que la probabilidad de cada uno es un 1/3. Así que su probabilidad subjetiva de que la moneda saliera cara es un 1/3.
¡No tan rápido!, gritan los “medios”. Dado que la moneda no está trucada, la probabilidad de que saliera cara es la mitad. La Bella Durmiente no ha recibido nueva información sobre el resultado del lanzamiento de la moneda cuando se despierta. Así que su probabilidad subjetiva de que la moneda salga cara debería seguir siendo la mitad.
Antes de revisar en detalle el dilema, recordemos que en la visión bayesiana de la probabilidad, el grado de certeza subjetiva se actualiza constantemente con los nuevos conocimientos. Por lo tanto, si no supiéramos nada sobre el lanzamiento de una moneda, excepto que la moneda no esta trucada, nuestra probabilidad subjetiva de que sea cara es de 1/2. Pero si un centenar de testigos confiables nos dicen que fueron testigos, o vemos un video del evento, nuestra probabilidad subjetiva puede cambiar de un 1/2 a 1.
Una de las razones de las diferencias es que ambos bandos interpretan la pregunta de dos maneras diferentes, aunque ambas válidas, y la traducen en problemas matemáticos ligeramente diferentes. La creencia es una construcción mental intermedia que se define de manera diferente por los dos campos.
¡Como la mayoría de las paradojas verbales, este dilema se basa en no especificar la pregunta precisa!” Cuando la pregunta se expresa en términos matemáticos precisos, no hay paradoja, ambos bandos obtienen la misma respuesta. Puede haber respuestas claras, entonces, como veremos en nuestras variaciones bien especificadas, no hay necesidad de preocuparse por los fundamentos de la probabilidad. Es solo una cuestión de ser específico acerca de lo que se solicita.
Y, sin embargo, este problema ha generado un gran abismo filosófico y psicológico entre las dos posiciones. Cada bando toma una posición apasionada por su postura. Sé por experiencia personal que las discusiones con alguien en el campo opuesto suelen ser inútiles. Es mucho más productivo tratar de concretar las diferencias de pensamiento entre los dos campos y obtener al menos una apreciación intelectual, si no intuitiva, de la mentalidad del campo opuesto. Veamos las diferencias en los procesos de pensamiento experimentados por los cada bando.
Los “medios” toman la opinión de un experimentador. Para ellos, la pregunta es en cuál de los dos brazos del estudio está la Bella Durmiente. Las “caras” (rojo) o las “cecas” (azul) como se muestra en la parte superior de la figura. Cada una de las flechas que se muestran en la figura representa una “prueba” completada. La configuración detallada del experimento, la amnesia y el número de despertares, es irrelevante, “una trampa y un engaño”. Desde este punto de vista, la Bella Durmiente no tiene información específica sobre si la moneda aterrizó “cara” o “ceca” porque está despierta según el protocolo original, independientemente de lo que suceda. Entonces, si el experimento se repitiera muchas veces, los medios contabilizarían el número de veces que terminó en el brazo “cara” del experimento, en relación con el número total de ensayos. Dado que la moneda no está trucada, esto sucederá en la mitad de las pruebas.
Los “tercios” se enfocan en el punto de vista del sujeto. Para ellos, la pregunta tiene que ver con la línea de tiempo en la que es más probable que se encuentre cuando la despierten, la de un lanzamiento “cara” o la de un lanzamiento “ceca”. Existe el doble de probabilidades de estar en la línea de tiempo “ceca” cuando está despierta que de estar en la línea de tiempo “cara”, como se ve en el hecho de que hay dos veces más flechas en los paneles de vigilia azules que en los rojos. La configuración detallada del experimento, como la amnesia y la diferencia en el número de despertares en los dos estados de monedas, ya sea uno, dos o un millón, es ahora de vital importancia y cambiará drásticamente el grado de creencia que el sujeto tiene sobre en qué línea de tiempo de lanzamiento de monedas se despertó. Para los “tercios” la información que recibe la Bella Durmiente está contenida en una combinación de tres cosas:
- 1) Los detalles del protocolo del experimento que ella conocía de antemano, que en este caso muestra los dos lanzamientos de manera diferente,
- 2) La amnesia que hace que todos los despertares sean idénticos desde su punto de vista.
- 3) La comprensión de que “ahora estoy despierto”.
Entonces, si el experimento se repitiera muchas veces, los “tercios” contarán el número de despertares que suceden en la línea de tiempo “cara” en relación con el número total de despertares. Dado que solo hay un despertar para un lanzamiento de “cara” por cada tres despertares, la probabilidad subjetiva de que el lanzamiento de la moneda haya salido hacia “cara” es de un 1/3.
Para profundizar un poco más en la disputa, en el fondo es un desacuerdo sobre lo que constituye información válida que la Bella Durmiente puede usar para actualizar su probabilidad sobre lo que sucedió en el lanzamiento de la moneda. Este es un punto extremadamente sutil.
Veamos 2 variantes del mismo experimento que marcan estas diferencias de interpretaciones
En ambas de estas variantes, usted es Bella Durmiente, el proceso es exactamente el mismo. La diferencia estriba en el hecho de que una vez despierto en la entrevista pasa a ser un escenario donde nos obligan a hacer una elección de la cual dependerá nuestra vida. Ahora su probabilidad subjetiva no es solo un concepto hipotético: en realidad afecta sus posibilidades de salir vivo de la situación. La elección correcta maximizará sus posibilidades de supervivencia.
Variante 1:
A cada despertar, la Bella Durmiente se le presentan 2 bolsas posibles, bolsa Roja y bolsa Azul. Cada una tiene 7 pastillas. Se le indica que tome una pastilla de una de las bolsas y la ponga a un lado. Al final del experimento, tendrá que comer la/las pastillas que haya sacado.. Le informan que:
- Si la moneda salió “cara”, la bolsa Roja tendrá 7 pastillas normales (7N) y la bolsa Azul tendrá 7 pastillas envenenadas (7V).
- Si la moneda salió “ceca”, la bolsa Roja tendrá 1 pastilla normal (1N) y 6 pastillas envenenadas (6V), mientras que la bolsa Azul tendrá 6 pastillas normales (6N) y 1 pastilla envenenada (1V).
Siendo tú la bella durmiente. ¿Qué bolsa elegirías y cuáles son tus posibilidades de supervivencia?
Analicemos las probabilidades de supervivencia si eres un miembro del grupo de los “medios”
- Si al despertar escoges de la bolsa Roja:
- Si la moneda salió cara (probabilidad: 1/2) definitivamente elegirás una pastilla normal pues en la bolsa habrá 7N. Ósea que la probabilidad de elegir una pastilla normal será 1/2 x 1 = 1/2.
- Si la moneda salió ceca (probabilidad 1/2) la bolsa tendrá 1N y 6V, por lo tanto la probabilidad de elegir una pastilla normal tanto el lunes como el martes, será (1/7 x 1/7) x 1/2 = 1/98.
- La probabilidad general de supervivencia eligiendo de la bolsa Roja será entonces: 1/2 + 1/98 = 25/49 (51,0%).
- Si al despertar escoges de la bolsa Azul:
- Si la moneda salió cara (probabilidad 1/2) la probabilidad de elegir una pastilla normal será 0 pues en la bolsa hay 7V.
- Si la moneda salió ceca (probabilidad 1/2), la bolsa tendrá 6N y 1V por lo tanto la probabilidad de elegir una pastilla normal tanto el lunes como el martes, será (6/7 x 6/7) x 1/2 = 18/49.
- La probabilidad general de supervivencia eligiendo de la bolsa Azul será 0 + 18/49 = 18/49 (37%).
Por lo tanto, siendo usted un partidario del grupo de los “medios” deberá elegirá de la bolsa Roja que le da más chances de vivir 51% vs 37%
Analicemos ahora las probabilidades de supervivencia si eres un miembro del grupo de los “tercios”
- Si al despertar escoges de la bolsa Roja:
- Si la moneda salió cara (probabilidad 1/3) definitivamente elegirás una pastilla normal pues en la bolsa hay 7N. O sea que la probabilidad de elegir una pastilla normal será 1/3 x 1 = 1/3.
- Si la moneda salió ceca (probabilidad 2/3), la bolsa tendrá 1N y 6V, por lo tanto la probabilidad de elegir una pastilla normal tanto el lunes como el martes, será (1/7 x 1/7) x 2/3 = 2/147.
- La probabilidad general de supervivencia eligiendo de la bolsa Roja será entonces: 1/3 + 2/147 = 51/147 (35%)
- Si al despertar escoges de la bolsa Azul:
- Si la moneda salió cara (probabilidad 1/3) la probabilidad de elegir una pastilla normal será 0 pues en la bolsa hay 7V.
- Si la moneda salió ceca (probabilidad 2/3) la bolsa tendrá 6N y 1V por lo tanto la probabilidad de elegir una pastilla normal tanto el lunes como el martes, Será (6/7 x 6/7) x 2/3 = 24/49.
- La probabilidad general de supervivencia eligiendo de la bolsa Azul será entonces: 0 + 24/49 = 24/49 (49%)
Por lo tanto, siendo usted un partidario del grupo de los “tercios” deberá elegirá de la bolsa Azul que le da más chances de vivir 49% vs 35%
Cual es la respuesta correcta? Lo veremos luego.
Pensemos una segunda variante del dilema:
Variante 2:
A usted, como Bella Durmiente, se le dice que debe pasar por el experimento original (sin las bolsas de pastillas) todas los días semanas durante varios meses, En el centésimo despertar en esta serie de experimentos, se te presentarán las dos bolsas de pastillas y se te instruirá exactamente como en la variante 1. Ahora, ¿qué bolsa escoges y cuáles son tus posibilidades de sobrevivir?
En la Variante 1, su destino se decide después de haber pasado por un brazo del experimento o por otro, como en la parte superior del diagrama. Esto requiere el tipo de análisis que está correctamente modelado por un “medio”. Así que eso es lo que necesitas ser. La bolsa correcta para tomar la pastilla es la Roja y la chance de supervivencia del 51% (contra 37% si elegimos la Azul)
En la Variante 2, su destino se basa en un solo despertar seleccionado, a todo propósito prácticos, al azar. Esto requiere el tipo de análisis que está correctamente modelado por un “tercio”. La bolsa correcta para recoger es la Azul y la chance de supervivencia dependerá de los días que dure el experimento (no es la calculada arriba porque se usaron probabilidades de 1/3 y 2/3 y esto solo ocurre si el experimento dura 2 días.)
Lo que es sumamente interesante es dadas estas variantes, tantos los “medios”, como los “tercios”, resolvieron correctamente ambas variantes. Esto significa que una vez planteado el dilema en un ejercicio concreto, el dilema desaparece.
Como dijeron en la revista Quanta Magazine, la paradoja tiene una analogía cuántica: el problema de la Bella Durmiente es como una partícula no observable en una superposición cuántica de 50% de “medios” y 50% de “tercios” entre el conjunto de entusiastas del rompecabezas. Al igual que en la mecánica cuántica, cuando se realiza una medición real (se plantea una pregunta concreta), el conjunto determina correctamente que el estado es o bien 1/2 o bien 1/3.
Porque algunos se inclinan por una opción y otros por otras cuando el problema se postula en su configuración inicial, es objeto de debate sicologico y filosófico. ¿Son los ”medios” mejores visualizando puntos de vista de otros? ¿Los “tercios” tienden a ser temperamentalmente pragmáticos? Podría ser un interesante proyecto de investigación psicológica.
https://www.quantamagazine.org/sleeping-beautys-necker-cube-dilemma-20160114/
https://www.quantamagazine.org/solution-sleeping-beautys-dilemma-20160129/